Ре­ше­ние. а)  Да. На­при­мер, числа 1, 3, 5, 7 со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, а их сумма равна 1 + 3 + 5 + 7  =  16.

б)  Так как все дан­ные n чисел на­ту­раль­ные, то наи­мень­шее из них боль­ше или равно 1, а по­сколь­ку все эти числа раз­лич­ны (т. е. от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее чем на 1), то их сумма S не мень­ше суммы 1 + 2 + ... , т. е. Если из­вест­но, что S < 900, то из не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что от­ку­да n < 42 (при имеем: ). При n = 41 имеем: на­ту­раль­ные числа от 1 до 41 (без про­пус­ков) со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, их ко­ли­че­ство равно 41, а сумма мень­ше 900. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние n в пунк­те б) равно 41.

в)  Пусть   — наи­мень­шее из дан­ных n чисел, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, d  — раз­ность этой про­грес­сии. Тогда по из­вест­ной фор­му­ле сумма этих n чисел равна Если из­вест­но, что сумма дан­ных n чисел равна 235, то За­ме­тим, что число 47 про­стое и (в пунк­те б) до­ка­за­но, что ), то n  — один из де­ли­те­лей числа 10.

Так как то воз­мож­ные зна­че­ния n  =  5 или n  =  10. Под­ста­вим в ра­вен­ство по­оче­ред­но n  =  5 и n  =  10, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие ра­вен­ства: и Пер­вое из этих ра­венств вы­пол­ня­ет­ся, на­при­мер, при а вто­рое  — при Про­грес­сии 1, 24, 47, 70, 93 и 1, 6, 11, …, 46 со­сто­ят из 5 и 10 чле­нов, а их сумма равна 235.

Ответ: а)  да; б)  41; в)  5 и 10.