PDF-версии: 
i
Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.
а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.
б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны
O — центр вписанной окружности треугольника ABC, поэтому 
— биссектрисы углов A и B, значит, 
Угол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому 
(см. рис.).
(по построению), поэтому 
тогда 
Углы CBK и KAC опираются на один и тот же отрезок CK и равны друг другу: 
Тогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки 
лежат на одной окружности.
радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника 
Пусть H — проекция точки O на сторону AB (см. рис.), тогда 
Точки 
лежат на одной окружности, поэтому радиус описанной окружности треугольника ABK совпадает с радиусом описанной окружности треугольника 
и равен 
Из треугольника ABK по теореме синусов:
Тогда
поэтому 