PDF-версии: 
i
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 1, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
Углы BAC и KHB равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим четырёхугольник BKHM 
следовательно, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Значит, углы KHB и KMB — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Таким образом, 
Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B и 
значит, эти треугольники подобны по двум углам.
Для треугольника ABC справедливо равенство 
Учитывая, что 
получаем: 
Стороны BC и BK — сходственные в подобных треугольниках ABC и MBK, следовательно, их коэффициент подобия 
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника 
