РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 510762 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 502;

Задания 13 (С1) ЕГЭ 2013.

Уравнения. Логарифмические уравнения

а)  Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 8 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 5=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. а)  Заметим, что $9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка = 9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка =9 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на 9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ преобразуем исходное уравнение:

$9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 8 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 5=0 равносильно 3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 8 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 5 = 0.$

Пусть $t = 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка ,$ тогда уравнение запишется в виде $3t в квадрате минус 8t плюс 5 = 0,$ откуда $t = 1$ или $t = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

При $t = 1$ получим $3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =1,$ откуда $x = 1.$

При $t = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби$ получим $3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ,$ откуда $x = логарифм по основанию 3 5.$

б)  Корень $x = 1$ не принадлежит промежутку $левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$ Поскольку $1 меньше логарифм по основанию 3 5$ и $логарифм по основанию 3 5 меньше логарифм по основанию 3 9 = 2 меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ,$ корень $x = логарифм по основанию 3 5$ принадлежит промежутку $левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: а) $1, логарифм по основанию 3 5;$ б) $логарифм по основанию 3 5.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источники:

ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 502;

Задания 13 (С1) ЕГЭ 2013.

Ключ