PDF-версии: 
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 
имеет единственный корень.
Решение. Запишем уравнение в виде 
Рассмотрим две функции:
и 
Графиком функции 
является полуокружность радиуса 3 с центром в точке 
лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении a графиком функции 
является прямая с угловым коэффициентом 
проходящая через точку 
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций 
и 
имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
Касательная MC, проведённая из точки М к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Прямая MA, заданная уравнением 
проходит через точки 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая MB, заданная уравнением проходит через точки и 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Ответ: 
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |