PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: 
Точки M и N — середины рёбер AS и BC соответственно.
а) Докажите что отрезок MN делится пополам высотой пирамиды, проведенной из вершины S.
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN.
Решение. а) Прямая AS проектируется на плоскость основания на прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка M1, лежащая на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN. Заметим, что отрезок MM1 параллелен отрезку SO, где O — центр основания, значит, отрезок MM1 — средняя линия треугольника ASO, а поэтому точка M1 — середина отрезка AO. Отсюда M1O = ON, то есть проекция MN делится высотой SO пополам. Тогда и сам отрезок MN делится высотой SO пополам.
б) Из решения пункта а) следует, что угол MNM1 — искомый. Получаем:
и 
Из прямоугольного треугольника AM1M находим:
Из прямоугольного треугольника MM1N находим:
Значит, искомый угол равен 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |