РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 510372 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 2 синус в квадрате x плюс синус x, знаменатель: 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби =0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка \ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Решениями уравнения будут те x, при которых числитель обращается в нуль, а знаменатель  — нет.

Левая часть уравнения определена при $косинус x не равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ то есть при $x не равно \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z .$ Числитель дроби должен быть равен $0$ :

$2 синус в квадрате x плюс синус x=0 равносильно 2 синус x левая круглая скобка синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности$ $2 синус в квадрате x плюс синус x=0 равносильно 2 синус x левая круглая скобка синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности$

Серию $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z$ нужно отбросить. Получаем ответ: $Пи k, минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка \ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0} правая квадратная скобка :$ $минус Пи ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $0.$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k, минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; 0.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

510372

а) $левая фигурная скобка Пи k, минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; 0.$

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510372	а) $левая фигурная скобка Пи k, минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; 0.$