РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 510073 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 26.03.2015. Досрочная волна, Восток

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 7 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 10 больше 0.$

Решение. Найдем ОДЗ: 4 + 3x − x² > 0 ⇔ x² − 3x − 4 < 0 ⇔ (x − 4)(x + 1)<0 ⇔ −1< x < 4.

$логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 7 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 10 больше 0 равносильно логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка минус 7 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 10 больше 0.$ $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 7 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 10 больше 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка минус 7 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 10 больше 0.$

Пусть $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка =t,$ тогда $t в квадрате минус 7t плюс 10 больше 0\Leftroghtarrow совокупность выражений t больше 5,t меньше 2. конец совокупности .$

Переходим к переменной x:

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка больше 5, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 плюс 3x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 2 конец совокупности . \undersetОДЗ\mathop равносильно совокупность выражений 4 плюс 3x минус x в квадрате больше 32,4 плюс 3x минус x в квадрате меньше 4 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 3x плюс 28 меньше 0,x в квадрате минус 3x больше 0 конец совокупности . равносильно x в квадрате минус 3x больше 0 равносильно совокупность выражений x больше 3,x меньше 0. конец совокупности .$

Неравенство $x в квадрате минус 3x плюс 28 меньше 0$   — решений не имеет, т. к. $x в квадрате минус 3x плюс 28 больше 0.$

Учитывая ОДЗ, получаем:

$система выражений минус 1 меньше x меньше 4, совокупность выражений x больше 3,x меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 1 меньше x меньше 0,3 меньше x меньше 4. конец совокупности .$ или $x принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: ЕГЭ по математике 26.03.2015. Досрочная волна, Восток

Ключ