Ре­ше­ние. Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му 4k − 8l + 0 · m  =  −3(k + l + m).

а)  За­ме­тим, что в левой части при­ведённого выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, по­это­му k + l + m  — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 4. По усло­вию 40 < k + l + m < 48, по­это­му k + l + m  =  44. Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 44 числа.

б)  При­ведём ра­вен­ство 4k − 8l  =  −3(k + l + m) к виду 5l  =  7k + 3m. Так как m ≥ 0, по­лу­ча­ем, что 5l ≥ 7k, от­ку­да l > k. Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в)  Под­ста­вим k + l + m  =  44 в пра­вую часть ра­вен­ства 4k − 8l  =  −3(k + l + m), от­ку­да k  =  2l − 33 . Так как k + l ≤ 44, по­лу­ча­ем: 3l − 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k  =  2l − 33 ≤ 17, то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 17.

в)  При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз на­пи­са­но число 4, 25 раз на­пи­са­но число −8 и два раза на­пи­сан 0. Тогда ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а) 44; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 17.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 500820.