РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 510031 Добавить в вариант

Источник: Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике

Простые системы неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений 4 в степени x меньше или равно 9 умножить на 2 в степени x плюс 22, \log_3 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 плюс \log_3 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби . конец системы$

Решение. Решим первое неравенство. Запишем его в виде $левая круглая скобка 2 в степени x правая круглая скобка в квадрате минус 9 умножить на 2 в степени x минус 22 меньше или равно 0.$

Сделав замену $t=2 в степени x ,$ получим квадратное неравенство:

$t в квадрате минус 9t минус 22 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 11 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно t меньше или равно 11.$

Значит, $минус 2 меньше или равно 2 в степени x меньше или равно 11,$ откуда $x меньше или равно логарифм по основанию 2 11.$

Решим второе неравенство:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби \leqslant1 равносильно система выражений логарифм по основанию 3 дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x плюс 1 конец дроби \leqslant1, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно$

$равносильно система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате \leqslant1, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате \leqslant3, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно система выражений минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше или равно x минус 2 меньше или равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно 2 меньше x\leqslant2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $равносильно система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате \leqslant1, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате \leqslant3, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше или равно x минус 2 меньше или равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы равносильно 2 меньше x\leqslant2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Решением системы является общая часть решений двух неравенств. Сравним $логарифм по основанию 2 11$ и $2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента :$

$2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента больше 2 плюс 1,5 больше 3 плюс логарифм по основанию 2 корень из 2 больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 умножить на 1,4 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 11,2 больше логарифм по основанию 2 11.$

Поэтому решением системы является полуинтервал: $левая круглая скобка 2, логарифм по основанию 2 11 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 2, логарифм по основанию 2 11 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обосновано получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных	0
Максимальный балл	3

Источник: Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике

Ключ