На стороне BA угла ABC, равного 
взята такая точка D, что 
и 
Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и D и касающейся прямой 
Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру отрезка 
Обозначим P середину отрезка 
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую 
— точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рис. а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки 
и OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка O не может лежать по ту же чторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки 
Из прямоугольного треугольника BPE с катетом 
и 
находим, что 
Так как 
и 
получаем: 
следовательно, 
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором 
находим:
Если радиус равен 1, то центром окружности является точка P (см. рис.).
Ответ: 1 или 7.
----------
Дублирует задание 500818.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |