РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 509978 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант Ларина;

Материалы для экспертов ЕГЭ.

Неравенства. Показательные неравенства

Решите неравенство $дробь: числитель: 3, знаменатель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 конец дроби плюс 1\geqslant0.$

Решение. Пусть $y=2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1,$ тогда

$дробь: числитель: 3, знаменатель: y в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: y конец дроби плюс 1 \geqslant0.$

Введём замену $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби ,$ решим квадратное неравенство:

$3t в квадрате минус 4t плюс 1 больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка t больше или равно 1. конец совокупности .$

Вернёмся к переменной $y:$

$совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби больше или равно 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 3 минус y, знаменатель: 3y конец дроби меньше или равно 0, новая строка дробь: числитель: 1 минус y, знаменатель: y конец дроби больше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка y меньше 0, новая строка y больше или равно 3, новая строка 0 меньше y меньше или равно 1. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 меньше 0, новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 больше или равно 3, новая строка 0 меньше 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 меньше или равно 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 1, новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 4, новая строка 1 меньше 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 2 конец совокупности . \underset2 больше 1\mathop равносильно$
$\underset2 больше 1\mathop равносильно совокупность выражений новая строка 2 минус x в квадрате меньше 0, новая строка 2 минус x в квадрате больше или равно 2, новая строка 0 меньше 2 минус x в квадрате меньше или равно 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x в квадрате больше 2, новая строка x в квадрате меньше или равно 0, новая строка 1 меньше или равно x в квадрате меньше 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x меньше минус корень из 2 , новая строка x больше корень из 2 , новая строка x = 0, новая строка 1 меньше или равно x меньше корень из 2 , новая строка минус корень из 2 меньше x меньше или равно минус 1. конец совокупности .$ $совокупность выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 меньше 0, новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 больше или равно 3, новая строка 0 меньше 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 меньше или равно 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 1, новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 4, новая строка 1 меньше 2 в степени левая круглая скобка 2 минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 2 конец совокупности . \underset2 больше 1\mathop равносильно$
$\underset2 больше 1\mathop равносильно совокупность выражений новая строка 2 минус x в квадрате меньше 0, новая строка 2 минус x в квадрате больше или равно 2, новая строка 0 меньше 2 минус x в квадрате меньше или равно 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x в квадрате больше 2, новая строка x в квадрате меньше или равно 0, новая строка 1 меньше или равно x в квадрате меньше 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x меньше минус корень из 2 , новая строка x больше корень из 2 , новая строка x = 0, новая строка 1 меньше или равно x меньше корень из 2 , новая строка минус корень из 2 меньше x меньше или равно минус 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус корень из 2 ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 1; корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из 2 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источники:

ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант Ларина;

Материалы для экспертов ЕГЭ.

Ключ