РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 509630 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Задачи о вкладах, Общие задачи по финансовой математике, Задачи на оптимальный выбор

Финансовая математика. Задачи на оптимальный выбор

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение. Если владелец продаст бумагу в течение k-го года, то через тридцать лет после покупки сумма на его счёте будет равна $левая круглая скобка 2k плюс 5 правая круглая скобка умножить на 1,1 в степени левая круглая скобка 30 минус k правая круглая скобка .$ Таким образом, нам нужно найти номер максимального члена последовательности $a_k= левая круглая скобка 2k плюс 5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1,1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 30 минус k правая круглая скобка ,$ где k пробегает целые значения от 1 до 30. Рассмотрим приращение

$b_k=a_k минус a_k минус 1= левая круглая скобка 1,1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 30 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 2k плюс 5 минус 1,1 умножить на левая круглая скобка 2 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс 5 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка 1,1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 30 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 1,7 минус 0,2k правая круглая скобка .$ $b_k=a_k минус a_k минус 1= левая круглая скобка 1,1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 30 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 2k плюс 5 минус 1,1 умножить на левая круглая скобка 2 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс 5 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1,1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 30 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 1,7 минус 0,2k правая круглая скобка .$ $b_k=a_k минус a_k минус 1=$
$= левая круглая скобка 1,1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 30 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 2k плюс 5 минус 1,1 умножить на левая круглая скобка 2 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс 5 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1,1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 30 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 1,7 минус 0,2k правая круглая скобка .$

Отсюда $b_k больше 0$ при $k меньше или равно 8$ и $b_k меньше 0$ при $k больше 8.$ Следовательно, наибольшее значение последовательность a_k принимает при $k=8.$ Продать бумагу следует в течение восьмого года.

Ответ: в течение восьмого года.

Приведем другое решение.

Продать ценную бумагу нужно в тот момент, когда 10% от стоимости станут составлять больше 2 тыс. рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 20 тыс. рублей.

Это произойдет через семь лет после покупки ценной бумаги (7 + 7 · 2 = 21). Таким образом, ценную бумагу нужно продать в течение восьмого года (сразу по прошествии семи лет).

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: в течение восьмого года.

509630

в течение восьмого года.

Классификатор алгебры: Задачи о вкладах, Общие задачи по финансовой математике, Задачи на оптимальный выбор

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	509630	в течение восьмого года.