РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 509585 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Последовательность a₁, a₂, ..., a_n, ... состоит из натуральных чисел, причём $a_n плюс 2 = a_n плюс 1 плюс a_n$ при всех натуральных n.

а)  Может ли выполняться равенство 4a₅ = 7a₄?

б)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?

в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство $6na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a_n?$

Решение. а)  Произведем преобразования:

$4a_5=7a_4 равносильно 4 левая круглая скобка a_4 плюс a_3 правая круглая скобка =7a_4 равносильно 4a_3=3a_4 равносильно$
$равносильно 4a_3=3 левая круглая скобка a_3 плюс a_2 правая круглая скобка равносильно a_3=3a_2 равносильно a_2 плюс a_1=3a_2 равносильно a_1=2a_2.$ $4a_5=7a_4 равносильно 4 левая круглая скобка a_4 плюс a_3 правая круглая скобка =7a_4 равносильно$
$равносильно 4a_3=3a_4 равносильно 4a_3=3 левая круглая скобка a_3 плюс a_2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно a_3=3a_2 равносильно a_2 плюс a_1=3a_2 равносильно a_1=2a_2.$

Пусть a₁ = 2 и a₂ = 1. Тогда a₃  =  2 + 1  =  3, a₄  =  1 + 3  =  4, a₅  =  3 + 4  =  7 и 4a₅  =  7a₄.

б)  Предположим, что 5a₅ = 7a₄. Тогда a₅ = 7a и a₄ = 5a, где $a= дробь: числитель: a_5, знаменатель: 7 конец дроби больше 0.$ Имеем a₃  =  a₅ − a₄ = 2a, a₂  =  a₄ − a₃  =  3a и a₁  =  a₃ − a₂  =  − a < 0. Получаем противоречие.

в)  Пример последовательности 3, 8, 11, 19, 30, 49,... показывает, что равенство $6na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a_n$ может выполняться при n = 5 .

Действительно, для такой последовательности выполнены условия задачи и 30a₆ = 49a₅.

Пусть n ≥ 6 и $6na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a_n.$ Положим $a= дробь: числитель: a_n, знаменатель: 6n конец дроби больше 0.$ Тогда a_n = 6na и $a_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a.$ Имеем

$a_n минус 1=a_n плюс 1 минус a_n= левая круглая скобка n в квадрате минус 6n плюс 24 правая круглая скобка a,$

$a_n минус 2=a_n минус a_n минус 1= левая круглая скобка минус n в квадрате плюс 12n минус 24 правая круглая скобка a,$

$a_n минус 3=a_n минус 1 минус a_n минус 2= левая круглая скобка 2n в квадрате минус 18n плюс 48 правая круглая скобка a,$

$a_n минус 4=a_n минус 2 минус a_n минус 3= минус 3 левая круглая скобка n в квадрате минус 10n плюс 24 правая круглая скобка a.$

Так как a_{n − 4} > 0 , то n² − 10n + 24 = (n − 4)(n − 6) < 0. Следовательно, n = 5. Полученное противоречие показывает, что при n ≥ 6 равенство $6na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a_n$ выполняться не может.

Ответ: а) да; б) нет; в) при n = 5.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) да; б) нет; в) при n = 5.

509585

а) да; б) нет; в) при n = 5.

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	509585	а) да; б) нет; в) при n = 5.