Тип 19 № 509470 
Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
i
В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 46, а вместе солдат меньше чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.
а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.
б) Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?
в) Сколько в роте может быть солдат?
Решение. Пусть в первом взводе k солдат, во втором l солдат. Тогда числа k и l имеют общий делитель, больший 8, и при этом
а) Например, 50 и 60 солдат. Вместе 110, их можно построить в колонну по 10 человек в ряду так, что 5 рядов будет заполнено солдатами только из первого взвода, а 6 рядов — только из второго.
б) Предположим, что общий делитель 13. Тогда, учитывая, что 
, получаем, что k = 52. Наименьшее возможное значение l равно 52 + 13 = 65, но вместе получается 117 человек, что противоречит условию.
в) Число l − k больше нуля и делится на общий делитель чисел k и l, поэтому l − k ≥ 9; k − l ≤ −9, что вместе с условием k + l ≤ 110 приводит к неравенству 2k ≤ 101, то есть k ≤ 50. При этом k + d ≤ l ≤ 110 − k, где d — наименьший общий делитель, превосходящий 8.
Если k = 47 , то d = 47, 47 + 47 = 94 ≤ 110 − 47 = 63. Противоречие.
Если k = 48, то d = 12, l = 60, а в роте 108 солдат.
Если k = 49, то 98 ≤ l ≤ 110 − 49 = 61. Противоречие.
Если k = 50, то d = 10, l = 60, а в роте 110 солдат.
Ответ: а) например, 50 и 60; б) нет; в) 108 и 110.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) например, 50 и 60; б) нет; в) 108 и 110.
509470
а) например, 50 и 60; б) нет; в) 108 и 110.
PDF-версии: