РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 509468 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Задачи о вкладах, Задачи на оптимальный выбор

Финансовая математика. Задачи на оптимальный выбор

Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение. Цена бумаги каждый год возрастает на тысячу, а куплена она в первый год за 8 тыс. руб., поэтому на k-⁠й год бумага будет стоить $8 плюс 1 умножить на левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка =k плюс 7$ тыс. рублей. Если Алексей продаст бумагу в течение k-⁠го года, то через двадцать пять лет после покупки сумма на его счёте будет равна $левая круглая скобка k плюс 7 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка .$ Таким образом, нам нужно найти номер максимального члена

последовательности $a_k= левая круглая скобка k плюс 7 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка ,$ где k пробегает целые значения от 1 до 25. Рассмотрим приращение

$b_k=a_k минус a_k минус 1= левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс 7 минус 1,08 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 0,52 минус 0,08k правая круглая скобка .$ $b_k=a_k минус a_k минус 1= левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс 7 минус 1,08 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 0,52 минус 0,08k правая круглая скобка .$ $b_k=a_k минус a_k минус 1=$
$= левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс 7 минус 1,08 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 0,52 минус 0,08k правая круглая скобка .$

Отсюда $b_k больше 0$ при $k меньше или равно 6$ и $b_k меньше 0$ при $k больше 6.$ Следовательно, наибольшее значение последовательность a_k принимает при $k=6.$

Ответ: в течение шестого года.

Приведем другое решение.

Продать ценную бумагу нужно в тот момент, когда 8% от стоимости станут составлять не меньше чем 1 тыс. рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 12,5 тыс. рублей. Это произойдет через пять лет после покупки ценной бумаги (8 + 5 · 1  =  13). Таким образом, ценную бумагу нужно продать в течение шестого года (сразу по прошествии пяти лет).

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: в течение шестого года.

509468

в течение шестого года.

Классификатор алгебры: Задачи о вкладах, Задачи на оптимальный выбор

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	509468	в течение шестого года.