РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д21 C8 № 509468 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Задачи о вкладах, Задачи на оптимальный выбор

Финансовая математика. Задачи на оптимальный выбор

Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. руб. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. руб. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение. Продать ценную бумагу нужно в тот момент, когда 8% от стоимости станут составлять не меньше чем 1 тыс. рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 12,5 тыс. руб. Это произойдет через пять лет после покупки ценной бумаги (8 + 5 · 1  =  13). Таким образом, ценную бумагу нужно продать в течение шестого года, сразу по прошествии пяти лет.

Ответ: в течение шестого года.

Приведем другое решение.

Цена бумаги каждый год возрастает на тысячу, а куплена она в первый год за 8 тыс. руб., поэтому на k-⁠й год бумага будет стоить $8 плюс 1 умножить на левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка =k плюс 7$ тыс. рублей. Если Алексей продаст бумагу в течение k-⁠го года, то через двадцать пять лет после покупки сумма на его счёте будет равна $левая круглая скобка k плюс 7 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка .$ Таким образом, нам нужно найти номер максимального члена

последовательности $a_k= левая круглая скобка k плюс 7 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка ,$ где k пробегает целые значения от 1 до 25. Рассмотрим приращение

$b_k=a_k минус a_k минус 1= левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс 7 минус 1,08 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 0,52 минус 0,08k правая круглая скобка .$ $b_k=a_k минус a_k минус 1= левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс 7 минус 1,08 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 0,52 минус 0,08k правая круглая скобка .$ $b_k=a_k минус a_k минус 1=$
$= левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс 7 минус 1,08 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1,08 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 0,52 минус 0,08k правая круглая скобка .$

Отсюда $b_k больше 0$ при $k меньше или равно 6$ и $b_k меньше 0$ при $k больше 6.$ Следовательно, наибольшее значение последовательность a_k принимает при $k=6.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: в течение шестого года.

509468

в течение шестого года.

Классификатор алгебры: Задачи о вкладах, Задачи на оптимальный выбор

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	509468	в течение шестого года.