PDF-версии: 
Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.
а) Сколькими способами она может попасть из A в C за n прыжков?
б) Сколько таких способов при условии, что вершиной D пользоваться нельзя?
Решение. а) Ясно, что после четного числа прыжков, лягушка может находиться только в вершинах A, C или E. Обозначим через 
число путей длины 
ведущих из A в A, C и E соответственно. В силу симметрии 
Легко видеть, что выполняются равенства 
(можно за два шага перейти из A в C, или за два шага перейти из Е, или сходить С-B-C или С-D-C), 
(аналогично). Отсюда 
Из начальных условий 
По индукции легко показать, что 
б) Сохраним обозначение ck из пункта а). Обозначим через bk число путей длины 
ведущих из A в B. Тогда 
(за два прыжка можно двумя способами вернуться из B в B и одним способом попасть из B в F). Но 
значит, 
при 
По-прежнему, 
следовательно, 
Ответ: а) 
(n обязательно четное); б) 
(n обязательно четное).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
(n обязательно четное); б) (n обязательно четное). (n обязательно четное); б) (n обязательно четное).