РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508540 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Показательные выражения и иррациональности

Решите неравенство: $корень из: начало аргумента: 2 умножить на 9 в степени x минус 7 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 конец аргумента плюс 10 правая круглая скобка \geqslant3 в степени x минус 10.$

Решение. Пусть $3 в степени x =t,t больше 0,$ тогда данное неравенство принимает вид:

$корень из: начало аргумента: 2t в квадрате минус 21t плюс 10 конец аргумента больше или равно t минус 10.$

Область определения этого неравенства задается неравенством:

$2t в квадрате минус 21t плюс 10\geqslant0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t\geqslant10. конец совокупности$

Рассмотрим два случая.

1 случай. При $t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, следовательно, неравенство выполняется при всех $t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

2 случай. При $t\geqslant10$ имеем:

$система выражений корень из: начало аргумента: 2t в квадрате минус 21t плюс 10 конец аргумента больше или равно t минус 10,t\geqslant10. конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка \geqslant левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка в квадрате ,t\geqslant10 конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка \geqslant0,t\geqslant10 конец системы равносильно t\geqslant10.$ $система выражений корень из: начало аргумента: 2t в квадрате минус 21t плюс 10 конец аргумента больше или равно t минус 10,t\geqslant10. конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка \geqslant левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка в квадрате ,t\geqslant10 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка \geqslant0,t\geqslant10 конец системы равносильно t\geqslant10.$ $система выражений корень из: начало аргумента: 2t в квадрате минус 21t плюс 10 конец аргумента больше или равно t минус 10,t\geqslant10. конец системы равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка \geqslant левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка в квадрате ,t\geqslant10 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка \geqslant0,t\geqslant10 конец системы равносильно t\geqslant10.$

Объединяя решения двух случаев и возвращаясь к исходной переменной, получаем, что неравенство верно, если

$совокупность выражений 3 в степени x \leqslant2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,3 в степени x \geqslant10 конец совокупности равносильно совокупность выражений x\leqslant минус логарифм по основанию 3 2,x больше или равно логарифм по основанию 3 10. конец совокупности$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус логарифм по основанию 3 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 10; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508540

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус логарифм по основанию 3 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 10; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508540	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус логарифм по основанию 3 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 10; плюс бесконечность правая круглая скобка .$