РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508533 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби больше или равно минус 4.$

Решение. Имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби больше или равно минус 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 больше или равно минус 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби больше или равно минус 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 больше или равно минус 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби больше или равно минус 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 больше или равно минус 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Рассмотрим два случая. Первый случай: $0 меньше 5 минус x меньше 1.$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, 0 меньше 5 минус x меньше 1 конец системы равносильно система выражений 0 меньше x плюс 2 меньше или равно 1, 0 меньше 5 минус x меньше 1 конец системы . решенийнет .$

Второй случай: $5 минус x больше 1.$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, 5 минус x больше 1 конец системы равносильно система выражений x плюс 2 больше или равно 1, x меньше 4, конец системы . равносильно минус 1 меньше или равно x меньше 4.$

Таким образом, множество решений данного уравнения: $левая квадратная скобка минус 1;4 правая круглая скобка .$

Приведём другое решение.

Заметим, что

$логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби \geqslant минус 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 \geqslant минус 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби \geqslant минус 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 \geqslant минус 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби \geqslant минус 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 \geqslant минус 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0.$

Воспользуемся методом рационализации:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно \begincases левая круглая скобка 5 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 минус 1 правая круглая скобка \geqslant0, 5 минус x больше 0, 5 минус x не равно q1, x плюс 2 больше 0. \endcases равносильно \begincases левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0, x меньше 5, x не равно q4, x больше минус 2. \endcases равносильно$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно \begincases левая круглая скобка 5 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 минус 1 правая круглая скобка \geqslant0, 5 минус x больше 0, 5 минус x не равно q1, x плюс 2 больше 0. \endcases равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0, x меньше 5, x не равно q4, x больше минус 2. \endcases равносильно$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка 5 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 минус 1 правая круглая скобка \geqslant0, 5 минус x больше 0, 5 минус x не равно q1, x плюс 2 больше 0. \endcases равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0, x меньше 5, x не равно q4, x больше минус 2. \endcases равносильно$ $минус 1 меньше или равно x меньше 4.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 1;4 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая квадратная скобка минус 1;4 правая круглая скобка .$

508533

$левая квадратная скобка минус 1;4 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508533	$левая квадратная скобка минус 1;4 правая круглая скобка .$