РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508515 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка \leqslant0.$

Решение. Рассмотрим два случая. Первый случай $0 меньше 5 минус x меньше 1.$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка \leqslant0, 0 меньше 5 минус x меньше 1; конец системы равносильно система выражений x плюс 3 больше или равно 1, 4 меньше x меньше 5, конец системы равносильно 4 меньше x меньше 5.$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка \leqslant0, 0 меньше 5 минус x меньше 1; конец системы равносильно$
$равносильно система выражений x плюс 3 больше или равно 1, 4 меньше x меньше 5, конец системы равносильно 4 меньше x меньше 5.$

Второй случай: $5 минус x больше 1.$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка \leqslant0, 5 минус x больше 1; конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше x плюс 3 меньше или равно 1, x меньше 4, конец системы равносильно минус 3 меньше x меньше или равно минус 2.$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка \leqslant0, 5 минус x больше 1; конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше x плюс 3 меньше или равно 1, x меньше 4, конец системы равносильно$
$равносильно минус 3 меньше x меньше или равно минус 2.$

Решение первого неравенства исходной системы: $минус 3 меньше x меньше или равно минус 2$ или $4 меньше x меньше 5.$

Приведём другое решение.

Используя метод рационализации, получим

$логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно \begincases левая круглая скобка 5 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 минус 1 правая круглая скобка \leqslant0,5 минус x больше 0,5 минус x не равно q1,x плюс 3 больше 0.\endcases равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0,x меньше 5,x не равно q4,x больше минус 3.\endcases$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка 5 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 минус 1 правая круглая скобка \leqslant0,5 минус x больше 0,5 минус x не равно q1,x плюс 3 больше 0.\endcases равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0,x меньше 5,x не равно q4,x больше минус 3.\endcases$

Из первого неравенства

$совокупность выражений x\leqslant минус 2,x\geqslant4. конец совокупности .$

Учитывая область определения, получим

$совокупность выражений минус 3 меньше x\leqslant минус 2,4 меньше x меньше 5. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508515

$левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508515	$левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка .$