РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508512 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 56 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 4x в кубе плюс 4x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 2 правая круглая скобка конец дроби .$

Решение. Заметим, что при $x больше минус 5$ и $x не равно минус 4$ исходное неравенство равносильно неравенству:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 56 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 4x в кубе плюс 4x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 2 правая круглая скобка конец дроби .$

Положив в последнем неравенстве $y=x в квадрате плюс 2x,$ получаем:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 56 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка y в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 y в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y плюс 56 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: y в квадрате минус y минус 56, знаменатель: y минус 3 конец дроби меньше или равно 0, новая строка y больше 2 конец системы . равносильно 3 меньше y меньше или равно 8.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 56 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка y в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 y в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y плюс 56 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: y в квадрате минус y минус 56, знаменатель: y минус 3 конец дроби меньше или равно 0, новая строка y больше 2 конец системы . равносильно 3 меньше y меньше или равно 8.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 56 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка y в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 y в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y плюс 56 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: y в квадрате минус y минус 56, знаменатель: y минус 3 конец дроби меньше или равно 0, новая строка y больше 2 конец системы . равносильно 3 меньше y меньше или равно 8.$

Далее имеем:

$система выражений новая строка x в квадрате плюс 2x больше 3, новая строка x в квадрате плюс 2x меньше или равно 8 конец системы . равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс 2x минус 3 больше 0, новая строка x в квадрате плюс 2x минус 8 меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x меньше минус 3,x больше 1, конец системы . новая строка минус 4 меньше или равно x меньше или равно 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка минус 4 меньше или равно x меньше минус 3, новая строка 1 меньше x меньше или равно 2. конец совокупности .$ $система выражений новая строка x в квадрате плюс 2x больше 3, новая строка x в квадрате плюс 2x меньше или равно 8 конец системы . равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс 2x минус 3 больше 0, новая строка x в квадрате плюс 2x минус 8 меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x меньше минус 3,x больше 1, конец системы . новая строка минус 4 меньше или равно x меньше или равно 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка минус 4 меньше или равно x меньше минус 3, новая строка 1 меньше x меньше или равно 2. конец совокупности .$

Учитывая то, что $x не равно минус 4,$ получаем решение исходного неравенства: $левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508512

$левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508512	$левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка .$