РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508488 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство: $\log _x в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1.$

Решение. Первый способ.

Рассмотрим два случая. Первый случай: $x в квадрате больше 1.$

$\log _x в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно x в квадрате равносильно 2x плюс 1 меньше или равно 0 равносильно x меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Учитывая условие $x в квадрате больше 1,$ получаем: $x меньше минус 1.$

Второй случай: $0 меньше x в квадрате меньше 1.$

$\log _x в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно x в квадрате равносильно 2x плюс 1 больше или равно 0 равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Учитывая условие $0 меньше x в квадрате меньше 1,$ получаем $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 0$ или $0 меньше x меньше 1.$

Множество решений неравенства системы: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$

Второй способ:

$\log _x в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: десятичный логарифм x в квадрате конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус десятичный логарифм x в квадрате , знаменатель: десятичный логарифм x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате , знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби меньше или равно 0,x не равно минус 1 ,x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2x плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0,x не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 0,0 меньше x меньше 1. конец совокупности .$ $\log _x в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: десятичный логарифм x в квадрате конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус десятичный логарифм x в квадрате , знаменатель: десятичный логарифм x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате , знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби меньше или равно 0,x не равно минус 1 ,x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 2x плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0,x не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 0,0 меньше x меньше 1. конец совокупности .$

Приведём другое решение.

Перепишем правую часть неравенства: $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате .$

Воспользуемся методом рационализации:

$\begincases левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате правая круглая скобка \leqslant0, x в квадрате больше 0, x в квадрате не равно q1, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0. \endcases равносильно \begincases левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 плюс x правая круглая скобка \leqslant0, x не равно q0, x не равно q\pm1, x не равно q минус 1. \endcases равносильно совокупность выражений x меньше минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 0, 0 меньше x меньше 1. конец совокупности .$ $\begincases левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате правая круглая скобка \leqslant0, x в квадрате больше 0, x в квадрате не равно q1, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0. \endcases равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 плюс x правая круглая скобка \leqslant0, x не равно q0, x не равно q\pm1, x не равно q минус 1. \endcases равносильно совокупность выражений x меньше минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 0, 0 меньше x меньше 1. конец совокупности .$ $\begincases левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате правая круглая скобка \leqslant0, x в квадрате больше 0, x в квадрате не равно q1, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0. \endcases равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 плюс x правая круглая скобка \leqslant0, x не равно q0, x не равно q\pm1, x не равно q минус 1. \endcases равносильно$
$равносильно совокупность выражений x меньше минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 0, 0 меньше x меньше 1. конец совокупности .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508488

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508488	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$