РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508483 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Решение. Область допустимых значений неравенства задается соотношениями:

$система выражений логарифм по основанию x 2x больше 0, логарифм по основанию x 2x не равно 1, 9x минус 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка больше 0, x больше 0, x больше дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка x больше 1. конец совокупности .$

На области допустимых значений справедливы равносильности:

$логарифм по основанию a b больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0,$

$логарифм по основанию a b минус логарифм по основанию a c больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка больше или равно 0,$

$a в степени b минус a в степени c больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка больше или равно 0.$

Поэтому на ОДЗ имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x минус логарифм по основанию x x правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$ $логарифм по основанию левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x минус логарифм по основанию x x правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$

$равносильно x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби , новая строка x\geqslant1. конец совокупности .$

Учитывая ОДЗ, получаем: $левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508483

$левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508483	$левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$