В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 6, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной плоскости BCP.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.
Решение. а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой BP до пересечения ее с прямой AB в точке G, а в плоскости ABC через точку G проведем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с прямой DC в точке F. По признаку параллельности двух плоскостей плоскость KFG параллельна плоскости BCP. Прямая FG параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KFG пересекает плоскость APD по прямой, параллельной FG. Обозначим через E точку пересечения этой прямой с ребром DP.
Таким образом, искомое сечение ― трапеция EFGK.
б) Плоскость EFG параллельна плоскости BCP, значит, 
Проведем высоту PN треугольника BCP и соединим точку N с основанием O высоты пирамиды. По теореме о трех перпендикулярах отрезок ON также перпендикулярен BC, а, значит, угол PNO ― линейный угол двугранного угла PBCO.
Поскольку 
из прямоугольного треугольника PNO находим 
откуда окончательно получаем 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |