Тип Д19 C7 № 508295 
Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства
i
А) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие две не били друг друга?
Б) Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?
В) Какое наименьшее число королей нужно поставить на шахматную доску так, чтобы все свободные клетки оказались под боем?
Г) Какое наибольшее число ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?
Решение. а) Ясно, что в каждой строке можно поставить не более одной ладьи. Поэтому ладей не более восьми. Можно, например, поставить их в каждую клетку главной диагонали. Тогда их ровно 8 и никакие две не бьют друг друга.
б) Разобьем доску на 16 квадратов 2 на 2. Ясно, что каждый такой квадрат может содержать не более одного короля. Значит, всего можно разместить не более 16 королей. Пример годится, например, такой: ставим по королю в левый нижний угол каждого из квадратов 2 на 2.
в) Расширим шахматную доску до размеров 9Х9, добавив мысленно вертикаль справа и горизонталь сверху. Разобьем полученную доску на 9 квадратов 3Х3. Поставим в центр каждого из квадратов по королю. Тогда все клетки доски 9Х9, а значит, и исходной доски оказались под боем. Видно, что эти 9 королей попали и на исходную доску, поэтому 9 королей хватит.
Докажем, что 8 королей не хватит. Рассмотрим первые две горизонтали. На них должно располагаться не менее трех королей (иначе какие-то поля первой горизонтали не будут биты). Рассмотрим седьмую и восьмую горизонтали. Аналогично на них должно стоять не менее трех королей. Теперь рассмотрим 4 и 5 горизонтали. На них должно стоять тоже не менее трех королей, иначе не будут биты, например, все поля на 4й горизонтали. Таким образом, королей должно быть не менее 9.
г) Ясно, что в каждой строке можно поставить не более одного ферзя. Поэтому ферзей не более восьми.
Приведем пример: поставим ферзей в клетки 
Ответ: а) 8; б) 16; в) 9; г) 8.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) 8; б) 16; в) 9; г) 8.
508295
а) 8; б) 16; в) 9; г) 8.
PDF-версии: