PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых корни уравнения 
являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Решение. Введем новые переменные.
Пусть 
Тогда уравнение примет вид:
или 
Потребуем, чтобы оно имело два различных и положительных действительных корня. Ни один корень, равный нулю, недопустим. В противном случае среди корней заданного уравнения будут по меньшей мере два корня, равные 0. Тогда и все остальные члены последовательности, являющейся арифметической прогрессией, обязаны быть равными нулю. Такая ситуация возможна лишь при одновременном выполнении двух условий: 
и 
что невыполнимо ни при каких значениях m. Следовательно, 
Уравнение (*) будет иметь два различных действительных корня при выполнении условия 
т. е.
А с учетом того, что 
: 
Пусть 
— меньший корень, 
— больший корень уравнения (*). И пусть 
Тогда корнями заданного уравнения будут: 
Очевидно, в арифметической прогрессии они должны идти в последовательности либо в последовательности: 
(в случае возрастающей прогрессии), либо 
(в случае убывающей). Выберем случай возрастающей арифметической прогрессии. В таком случае согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии должно выполняться условие: 
или 
Такое же равенство получим, если проверим условие 
То есть 
Ясно, что 
Так как 
то 
При этом 
Итак, имеем:
Перейдем к параметру а. 
Однако, полученные значения нуждаются в проверке.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |