РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 508192 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 105

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 1.$

Решение. Найдем некоторые ограничения на x.

$2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9 больше 0 равносильно совокупность выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 11 минус корень из: начало аргумента: 121 минус 72 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше дробь: числитель: 11 плюс 7, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 1 , новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 0 , новая строка x больше 2\log _23 минус 1 . конец совокупности .$ $2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9 больше 0 равносильно совокупность выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 11 минус корень из: начало аргумента: 121 минус 72 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше дробь: числитель: 11 плюс 7, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 1 , новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 0 , новая строка x больше 2\log _23 минус 1 . конец совокупности .$

Для полученных x:

$дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка \log _22, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка \log _22, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9 правая круглая скобка минус \log _2, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби x плюс 3 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9 минус 8 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9 правая круглая скобка минус \log _2, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби x плюс 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9 минус 8 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 19 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 0.$

Разложим числитель на множители.

$2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 19\pm корень из: начало аргумента: 361 минус 72 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 19\pm 17, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =9 . конец совокупности .$

$дробь: числитель: 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 19 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2\log _23 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 0.$ $дробь: числитель: 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 19 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 9, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2\log _23 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше или равно 0.$

Решим полученное неравенство методом интервалов.

Интервалы	$левая круглая скобка минус бесконечность минус 3 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка минус 3; минус 1 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка минус 1;2\log _23 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка 2\log _23; плюс бесконечность правая круглая скобка$
Знак выражения	−	+	−	+

С учетом ограничений на x получим решения исходного неравенства $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2\log _23 минус 1;2\log _23 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2\log _23 минус 1;2\log _23 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

508192

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2\log _23 минус 1;2\log _23 правая квадратная скобка .$