PDF-версии: 
Рассматриваются 10‐значные натуральные числа (все десять цифр в их записи различны). Среди таких чисел найдите:
а) какое‐либо число, делящееся на 11;
б) наибольшее число, делящееся на 11;
в) наименьшее число, делящееся на 11.
(Натуральное число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11. Например, число 61938085 делится на 11, так как 6 − 1 + 9 − 3 + 8 − 0 + 8 − 5 = 22.)
Решение. а) Напишем любое такое число, например, 9876543210. Для него знакочередующаяся сумма его цифр равна 
Поменяем теперь местами цифры 8 и 5. Тогда знакочередующаяся сумма его цифр увеличится на 
и станет равна 11. Таким образом, годится число 
б) Сумма цифр нашего числа равна 45, поэтому знакочередующаяся сумма его цифр не может быть четной. Кроме того знакочередующаяся сумма его цифр по модулю не превосходит 
Значит, она равна 11 (если само число делится на 11). Значит, сумма цифр, стоящих на четных местах равна 28, а на нечетных местах - равна 17, или наоборот. Чтобы сделать число максимальным, пусть число имеет вид 
тогда сумма цифр, стоящих на нечетных местах может быть равна только 28 (т. к. 9+7+5=21 уже больше 17). Получаем, что 
Теперь ясно, что искомое число это 
(цифры 0,1,2 на 6ю,8ю,10ю позицию расставили так, чтобы максимизировать число, тоже с цифрами 4 и 3 на 7й и 9й позициях).
в) Рассуждаем аналогично пункту б). Пусть число имеет вид 
(с нуля число начинаться не может). Знакочередующаяся сумма первых четырех цифр равна 0, тогда, так как сумма последних 6 цифр равна 39, получается, что 
или наоборот. Но это невозможно, так как даже 
Пусть число имеет вид 
Получаем два варианта: 
или 
Первый вариант невозможен аналогично предыдущему, второй вариант получается только если 
(расставляем эти цифры так, чтобы минимизировать число). В итоге, получается число 
Ответ: а) 9576843210; б) 9876524130; в) 1024375869.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |