PDF-версии: 
Точка E — середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и АС взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О.
а) Докажите, что площади треугольников АОВ и СОЕ равны.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.
Решение. а) S(ABE) = S(ACE), так как треугольники ABE и ACE имеют общее основание АЕ, и равные высоты, проведенные из вершин В и С соответственно (расстояние между параллельными прямыми AD и ВС неизменно).
S(ABE) − S(AOE) = S(ACE) − S(AOE). Отсюда: S( б) Теперь рассмотрим трапецию ВАЕС. Из вершин А и Е проведем перпендикуляры к ВС, основания которых обозначим М и N соответственно. Вспомним, что если у четырехугольника диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противолежащих сторон обязаны быть равными. Следовательно, В прямоугольном треугольнике Но Ответ: б) 
Пусть NC = x, тогда BM = 4 − 2 − x = 2 − x.
аналогично в прямоугольном треугольнике
Следовательно, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |