PDF-версии: 
Две окружности касаются внешним образом в точке А. Прямая l касается первой окружности в точке В, а второй — в точке С.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиусы окружностей 8 и 2.
Решение. а) Пусть O1 — центр окружности, у которой радиус равен 8, O2 — центр другой окружности.
Через точку А проведем общую касательную заданных окружностей, которая пересечет отрезок ВС, скажем, в точке М.
По свойству касательных, проведенных к окружности, будем иметь: MB = MA, MA = MC. А это значит: точки В, А и С равноудалены от точки М, что в свою очередь означает, что 
является вписанным в некоторую окружность 
опирающимся на ее диаметр ВС, т. е. 
что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим прямоугольную трапецию 
(Здесь радиусы окружностей 
и 
окажутся параллельными как два перпендикуляра к прямой l.Соединим отрезком 
и 
который пройдет через точку А.
Проведем из точки А перпендикуляр к отрезку ВС, основание перпендикуляра обозначим К.
Ясно, что 
Проведем отрезок 
— прямоугольник, 
В прямоугольном треугольнике 
Значит, 
Найдем СК по теореме Фалеса. 
(СК есть высота 
проведенная к продолжению стороны 
(Отрезок ВК равен высоте 
проведенной к 
Ответ: б) 12,8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |