PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра C1D1, точка P — середина ребра AD, точка M — середина ребра CC1.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, P и M.
б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба рано 6.
Решение. б) Введем декартову систему координат с началом в центре основания ABCD. Выпишем координаты точек K, P и M: K (0; 3; 6), P (3; 0; 0), M (−3; 3; 3).
Составим уравнение секущей плоскости в выбранной системе координат при d = 6.
Значение а подставим во второе уравнение. Получим: 
Подставив значение b в уравнение (1), будем иметь: 
Далее, b = −4 − c = −6. Искомое уравнение имеет вид: −2x − 6y + 2z + 6 = 0 или x + 3y − z − 3 = 0. Нормальный вектор плоскости: 
Уравнение плоскости нижнего основания куба: z = 0. Нормальный вектор: 
Косинус угла между нижним основанием куба и секущей плоскостью (обозначим этот угол через 
) получим как угол между их нормальными векторами 
и 
Найдем абсциссу точки S пересечения прямой KM с плоскостью (ABCD) из уравнения плоскости сечения при y = 3, z = 0:
Значит,
Аналогично найдем ординату точки N при x = −3, z = 0.
Теперь найдем ординату точки L при x = 3, z = 6.
Нетрудно заметить, что 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |