PDF-версии: 
А) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные суммы равны 7, 9, 10, 12, 13, 15, 15, 16, 18, 21?
Б) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные суммы равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?
В) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные произведения равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?
Решение. а) Обозначим эти числа в порядке неубывания A, B, C, D, E. Сложим все попарные суммы, тогда каждое число войдет в итоговую сумму четыре раза: 
Получается, что 
Ясно, что 
и 
тогда 
Пусть A=3, B=4. тогда D=9, E=12. Проверкой убеждаемся, что набор 3,4,6,9,12 годится.
б) Обозначим эти числа в порядке возрастания A, B, C, D, E. Сложим все попарные суммы, тогда каждое число войдет в итоговую сумму четыре раза: 
Получается, что 
нецелое число. Поэтому такой случай невозможен.
в) Обозначим эти числа в порядке неубывания A, B, C, D, E. Перемножим все попарные произведения, тогда каждое число войдет в итоговое произведение в четвертой степени: 
Значит, 
Заметим еще, что из попарных произведений три являются степенями двойки, значит, и среди чисел A, B, C, D, E три являются степенями двойки. Ни одно из попарных произведений не является степенью тройки, поэтому хотя бы одно из чисел делится и на 2, и на 3. Числа 4, 6, 8, 9 и 16 удовлетворяют всем условиям, и их попарные произведения действительно равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144.
Ответ: а) Существуют; б) не существуют; в) существуют
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |