PDF-версии: 
В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М.
а) Докажите, что ЕМ — медиана треугольника CЕD.
б) Найдите длину отрезка ЕМ, если АD = 8, АВ = 4 и угол CDВ равен 60°.
Решение. а) Вписанные углы ВАС и BDC опираются на одну и ту же дугу заданной окружности, следовательно,
Пусть F — точка пересечения МЕ с АВ.
отсюда: 
как углы, заключенные между взаимно перпендикулярными прямыми. (2)
как вертикальные углы. (3)
Из равенств (1)–(3) получим: 
Отсюда: DM = EM. Аналогично можно доказать, что CM = EM. Следовательно, EM — медиана треугольника CЕD.
б) В прямоугольном 
Значит, 
В 
в котором 
по теореме Пифагора:
В прямоугольном 
Так как М — середина гипотенузы прямоугольного треугольника DEC, то она равноудалена от вершин этого треугольника, значит, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |