PDF-версии: 
При каких значениях параметра а система уравнений
имеет более двух различных решений?
Решение. Преобразуем левую часть первого уравнения системы.
В этот результат подставим значение у, полученное из второго уравнения системы и запишем первое уравнение так:
Таким образом, мы получили совокупность двух уравнений:
Найдем значения параметра а, при которых уравнения (1) и (2) решений иметь не будут. Ясно, что при таких значениях а их дискриминанты (обозначим их 
и 
соответственно) будут отрицательными.
Для уравнения (1):
Для уравнения (2):
Заметим, что 
Количество решений уравнений (1) и (2) можно увидеть из таблицы, составленной на основании исследования знаков и 
Случаи 3 и 7 интереса не представляют.
В случаях 1, 5, 9, в которых оба уравнения имеют по два различных корня, тождественных совпадений этих корней не будет, поскольку для такого совпадения необходимо равенство абсцисс осей симметрии корней, т. е. абсцисс вершин 2-х парабол (обозначим их 
и 
). Но 
Ясно, что равенство 
ни при каких а не выполнимо. А это значит, что при 
и 
система имеет не менее трех различных корней.
Осталось проверить случаи 2, 4, 6 и 8.
Найдем, при каких значениях а возможно совпадение корней уравнений (1) и (2). Для этого решим уравнение 
относительно х.
В случаях 2 и 4 уравнение (1) имеет два одинаковых корня 
Это 
Тогда должно выполняться условие:
(Сумма рационального числа и иррационального числа не может равняться рациональному числу). А это значит, что в этих случаях решения уравнения (1) совпасть хотя бы с одним корнем уравнения (2) при 
не может.
Следовательно, в случаях 2 и 4 система будет иметь ровно три различных решения.
Поверим случаи 6 и 8, в которых 
Корни уравнения (2) будут иметь вид: 
При совпадении такого корня хотя бы с одним из корней уравнения (1) должно выполняться условие:
Но при этом не выполняются равенства: 
Убедимся в этом. Предположим, что эти равенства выполняются. Тогда:
Это равенство места не имеет, так как слева равенства получаем число четное, а справа — число нечетное.
Равенство невыполнимо, поскольку слева равенства число положительное, тогда как справа — отрицательное.
(равенство невыполнимо из-за положительности левой части и отрицательности правой).
Однако, 
тогда как 
Значит, в случаях 6 и 8 система также будет иметь ровно 3 различных решения.
Итак, искомыми значениями параметра а являются элементы множества
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |