PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств
имеет ровно одно решение.
Решение. Преобразуем заданную систему так:
Геометрический смысл полученной системы в контексте данной задачи (система должна иметь единственное решение) заключается в следующем:
Случай 1. Пересечение в плоскости хОу двух кругов в единственной точке:
круга с центром в точке 
и с радиусом 
круга с центром в точке 
и с радиусом 
Такой случай будет иметь место, если окружности, т. е. границы названных кругов, коснутся друг друга внешним образом.
Случай 2. Один из кругов вырождается в точку, и координаты этой точки удовлетворяют неравенству, задающему другой круг.
Рассмотрим первый случай.
Этот случай возможен лишь при выполнении равенства сумм радиусов двух кругов расстоянию между их центрами. Найдем это расстояние. 
Решим уравнение 
относительно а. Найденные значения а и будут искомыми.
Пусть 
Тогда 
Пусть 
Тогда 
Но 
Пусть 
Тогда 
Теперь рассмотрим случай 2.
а) Пусть в точку вырождается круг с центром в точке 
и радиусом 
При 
и 
второе неравенство системы примет вид: 
Но это неравенство невыполнимо. Следовательно, точка 
кругу с центром в точке 
и с радиусом 
не принадлежит.
б) Пусть теперь в точку вырождается круг с центром в точке 
и с радиусом, равным Тогда 
При 
и 
первое неравенство системы имеет вид: 
однако, полученное неравенство также невозможно. Значит, точка 
кругу с центром в точке и радиусом, равным 
также не принадлежит.
Таким образом, искомых значений а всего два: 
и 3.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |