Ре­ше­ние. а)  До­ка­за­тель­ство:

До­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния:

Про­ве­дем: лучи ВС и АР. Точку их пе­ре­се­че­ния обо­зна­чим Е; луч АD; через точку Е  — пря­мую, па­рал­лель­ную АВ, ко­то­рая пе­ре­се­чет луч АD в точке F. Со­еди­ним от­рез­ком точки В и F.

Не­труд­но по­нять, что ABEF  — па­рал­ле­ло­грамм (по спо­со­бу по­стро­е­ния и по опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма).

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки PBC и FPD. Они равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ним углам: PC = PD (по усло­вию), как вер­ти­каль­ные, как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных ВС, DF и се­ку­щей CD.

От­сю­да: BP = FP.

В от­ре­зок AP  — бис­сек­три­са (по усло­вию), он же ме­ди­а­на (по толь­ко что до­ка­зан­но­му). Сле­до­ва­тель­но, AP  — вы­со­та т. е. Зна­чит, па­рал­ле­ло­грамм ABEF  — ромб (по при­зна­ку ромба). От­сю­да сле­ду­ет, что ВР  — бис­сек­три­са угла АВС.

б)  По­сколь­ку диа­го­на­ли ромба ABEF в точке пе­ре­се­че­ния, т. е. в точке Р, де­лят­ся по­по­лам, AE  =  2AP = 16, BF  =  2BP  =  12.

Выше было до­ка­за­но, что Коли это так, то S(PBC) = S(FPD).

За­ме­ча­ние: ключ к та­ко­му под­хо­ду: ра­вен­ство углов ВАР и FAP; метод удво­е­ния ме­ди­а­ны ( в нашем слу­чае АР)

Ответ: б) 48.