Ре­ше­ние. а)  Из вер­ши­ны С про­ве­дем луч СО, ко­то­рый пе­ре­се­чет AB в точке F. Ясно, что CF  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка ABC.

Тре­уголь­ни­ки AOB и AOMимеют рав­ные вы­со­ты, про­ве­ден­ные на их сто­ро­ны OB и OM (или их про­дол­же­ния) со­от­вет­ствен­но. Сле­до­ва­тель­но, их пло­ща­ди от­но­сят­ся как их на­зван­ные ос­но­ва­ния:

По­сколь­ку Ана­ло­гич­но

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки СОМ и CON. У них: СО  — общая сто­ро­на, как до­пол­ня­ю­щие рав­ные вер­ти­каль­ные углы AOC и FON до По вто­ро­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков: От­сю­да:

Кроме того, из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков COM и CON сле­ду­ет:

Из ра­вен­ства по­лу­чим:

Так как то

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOM и BON. У них: как вер­ти­каль­ные, OM = ON по выше до­ка­зан­но­му.

Рав­ные углы CMO и CNO до­пол­ня­ют углы AMO и BNO до со­от­вет­ствен­но, от­ку­да как вер­ти­каль­ные. Зна­чит, по вто­ро­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков, от­ку­да

Зна­чит, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем AB.

Из рав­но­бед­рен­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC сле­ду­ет:

б)   Выше было до­ка­за­но, что Зна­чит, сле­до­ва­тель­но,

В пря­мо­уголь­ном

Сле­до­ва­тель­но,

В тре­уголь­ни­ке ANC по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Окруж­ность, впи­сан­ная в че­ты­рех­уголь­ник ONCM, яв­ля­ет­ся впи­сан­ной и в тре­уголь­ник Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый ра­ди­ус

Ответ: б)