PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых функция 
принимает значение, равное 2, в двух различных точках.
Решение. Построим график функции 
(см. рис.) и определим, при каких значениях параметра он имеет ровно две точки пересечения с пучком прямых 
имеющих угловой коэффициент а и проходящих через точку (8; 0).
Прямая (1) с угловым коэффициентом 
пересекает график функции в одной точке, а прямая (3) с угловым коэффициентом 
— в трех точках. Прямые (2) с угловыми коэффициентами 
пересекают график функции g в двух точках. Аналогично прямая (5) с угловым коэффициентом 0 пересекает график функции в трех точках, а прямая (7) с угловым коэффициентом −1 — в одной точке. Две точки имеют с графиком данной функции прямые (6), имеющие угловые коэффициенты которых 
Ответ: 
Приведем аналитическое решение.
Задачу переформулируем так: «Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
имеет два различных корня».
1. Пусть 
тогда 
и уравнение примет вид: 
а) 
в таком случае 
Найдем значения а, удовлетворяющие условию 
б) 
Тогда 
Найдем значения а, удовлетворяющие условию
2. Пусть 
тогда 
и уравнение примет вид: 
а) 
тогда 
Найдем значения а, удовлетворяющие условию 
б) 
тогда 
Найдем значения а, удовлетворяющие неравенству 
На каждом этапе решения мы получали ровно по одному корню. Количество решений уравнения в зависимости от значений а увидим из следующей таблицы:
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2а) | один корень | один корень | один корень | ||||||||
2б) | один корень | один корень | |||||||||
1а) | один корень | один корень | один корень | один корень | |||||||
1б) | один корень | один корень | один корень | один корень | один корень | один корень | один корень | один корень | один корень | ||
| Всего корней: | один корень | один корень | два корня | три корня | четыре корня | три корня | два корня | один корень | один корень |
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |