PDF-версии: 
В равнобедренном треугольнике ABC сторона AC — основание. На продолжении стороны CB за точку В отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.
а) Докажите, что AB биссектриса угла CAD.
б) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.
Решение. а) Пусть
тогда и 
а по свойству внешнего угла треугольника: 
Поскольку по условию углы ABD и CAD равны, угол CAD равен 2α. Это значит, что отрезок AB — биссектриса угла CAD, что и требовалось доказать.
б) В соответствии с доказанным выше 
следовательно, 
Применим теорему синусов к треугольнику ADB, получим:
Найдем 
и 
Проведем медиану BE к стороне 
BE также будет служить высотой этого треугольника. Тогда в прямоугольном треугольнике ABE по теореме Пифагора 
числа 3; 4 и 5 — пифагоровы. Следовательно, 
Ответ: б) 
Приведем решение Артема Лыкова.
По свойству биссектрисы 
Положим 
тогда 
По теореме косинусов для треугольника АВС находим:
откуда 
Чтобы найти х, используем теорему косинусов для треугольника ADB, подставив найденный косинус угла BAC:
то есть 
откуда 
или 
Подставляя найденные значения х, находим 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |