Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем TK, KF и ET и по­лу­чим ис­ко­мое се­че­ние  — рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию FKTE.

б)  Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть точка O  — се­ре­ди­на вы­со­ты куба и центр впи­сан­но­го шара, точки O₁ и O₂  — цен­тры ниж­ней и верх­ней гра­ней куба со­от­ветс­вен­но, а также точки ка­са­ния шара с гра­ня­ми. Пусть R  — ра­ди­ус шара. Оче­вид­но, что се­че­ни­ем шара плос­ко­стью P яв­ля­ет­ся круг, центр ко­то­ро­го лежит на NO₂, где N  — се­ре­ди­на TK. Более того, цен­тром дан­но­го круга яв­ля­ет­ся точка H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из O на NO₂, а ра­ди­у­сом  — HO₂. Наша за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию объ­е­ма ша­ро­во­го сег­мен­та. Ос­но­ва­ние ша­ро­во­го сег­мен­та есть круг с цен­тром H и ра­ди­у­сом HO₂, вы­со­той сег­мен­та яв­ля­ет­ся от­ре­зок, рав­ный  Най­дем зна­че­ния этих эле­мен­тов.

От­сю­да по­лу­ча­ем, что

Тогда по фор­му­ле объ­е­ма ша­ро­во­го сег­мен­та на­хо­дим

Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние объ­е­мов равно

Ответ: