PDF-версии: 
В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, вторая окружность касается сторон AB, BC и CD.
а) Докажите, что AB || CD;
б) Найдите АС, если r = 2.
Решение. а) Пусть
и 
— центры первой и второй окружностей соответственно. Через эти точки проведем прямые, перпендикулярные к AB. Пусть К и L — точки пересечения этих прямых с прямой АВ соответственно. Те же прямые пересекут заданные окружности также в точках 
и 
(см. рис.).
Рассмотрим четырехугольник 
У него две противолежащие стороны 
и 
равны 2r. Так как 
по построению, то 
Значит, 
— параллелограмм по признаку параллелограмма.
Кроме того, угол 
этого параллелограмма прямой по построению, значит, — прямоугольник, т. е. 
А это значит, что прямая 
будет касательной к обоим окружностям, следовательно, совпадет с прямой DC. Таким образом, AB || CD, что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим взаимное расположение прямых AD и СВ. Предположим, что они не параллельны. Тогда четырехугольник ABCD — трапеция. (Пусть для определенности 
см. рис.)
Так как AF проходит через точку (центр первой окружности), то точка расположена на одинаковом расстоянии от AD и AB. А это значит, что 
как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB, DC и секущей AF. Значит, 
Отсюда: 
— равнобедренный, т. е. DA = DF. Аналогично получим: BC = BE.
Проведем через точку касания заданных окружностей прямую перпендикулярно к AB, которая пересечет прямую AB в точке М, прямую DC — в точке N. Положим AD = a, BC = b, MN = c. (Ясно, что MN = c = 2r). Кроме того: DC = 2a, AB = 2b.
Четырехугольник DAMN — описанный около первой окружности. Это значит, что AM + DN = AD + MN, т. е.
(AM + MB) + (DN + NC) = AB + DC = 2b + 2a.
Сложив правые части тех же равенств, получим: a + b + 2c. Следовательно,
2a + 2b = a + b + 2c,
окончательно: a + b = 2c (*).
Четырехугольник DABC может быть трапецией лишь при выполнении одного из трех условий:
1) 
2)
3) 
Проверим выполнение перечисленных условий.
1) Если a = c, то в соответствии с равенством (*) имеем: 
не выполняется неравенство b > c.
2) Если b = c, то 
не выполняется неравенство a > c.
3) Если 
то 
не выполняется равенство (*). Следовательно, равенство (*) будет иметь место только при выполнении равенства a = b = c.
Таким образом, предположение, что AD и СВ не параллельны, неверно, четырехугольник DABC трапецией не является. Отсюда вывод: DA || CB, а значит, четырехугольник DABC — параллелограмм. При этом равенство (*) опровергнутым быть не может, так как оно получено строго из условия задачи и с помощью известных положений геометрии.
Поскольку из равенства a = b = c следует также: a — расстояние между прямыми AB и DC, DABC — прямоугольник. Тогда:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |