PDF-версии: 
В прямую призму ABCDA1B1C1D1, нижним основанием которой является ромб ABCD, а AA', BB', CC', DD' — боковые ребра, вписан шар радиуса 1.
а) Постройте плоскость, проходящую через вершины A, B, C'.
б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что 
Решение. а) Построим последовательно:
Отрезки BC' и AD'. Четырехугольник ABC'D' — искомое сечение.
Докажем это.
Из определения прямой призмы следует, что C'D' || CD, из определения ромба — CD || BA. Следовательно, C'D' || BA. А через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость. Значит, четырехугольник ABC'D' — искомое сечение.
б) В прямую призму можно вписать шар в том и только в том случае, если центр шара одинаково удален от всех граней призмы, т. е. выполнено условие: в основание призмы можно вписать окружность, причем диаметр этой окружности равен диаметру шара, высота призмы также равна диаметру шара.
Из точки D проведем высоту DК ромба ABCD, 
В ромб всегда можно вписать окружность. Значит, диаметр этой окружности будет DK, DD' = DK = 2.
ABC'D' — параллелограмм по признаку параллелограмма, так как C'D' || BA (по выше доказанному). Кроме того, BA = CD CD=C'D' как противолежащие стороны соответствующих параллелограммов.
Соединим отрезком точки D' и K. D'K — наклонная к плоскости основания призмы, DK — проекция наклонной D'K на ту же плоскость. 
(по построению). В таком случае 
по теореме о трех перпендикулярах.
В прямоугольном треугольнике D'DK катеты D'D и DK равны 2, следовательно, гипотенуза D'K равна 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |