РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 507828 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 Показательные неравенства

Простые системы неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств: $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant2,,25 в степени x минус 20 в степени x минус 2 умножить на 16 в степени x \leqslant0. конец системы$

Решение. Решим первое неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка \leqslant2.$

Сделаем замену $y= логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка :$

$y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби \leqslant2; дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: y конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений новая строка y меньше 0, новая строка y=1. конец совокупности .$

Если $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка =1,$ то

$система выражений x плюс 1=2x минус 5,x плюс 1 больше 0, x плюс 1 не равно 1, конец системы равносильно x=6.$

Если $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка меньше 0,$ то

$система выражений дробь: числитель: 2x минус 5 минус 1, знаменатель: x плюс 1 минус 1 конец дроби меньше 0,x плюс 1 больше 0,2x минус 5 больше 0,x плюс 1 не равно 1, конец системы равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x конец дроби меньше 0, новая строка x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; конец системы равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 3.$

Решение первого неравенства: $дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 3$ или $x=6.$

Решим второе неравенство. Разделим обе части на $16 в степени x :$

$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 2\leqslant0.$

Сделаем замену $z= левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x .$ Получаем: $z в квадрате минус z минус 2\leqslant0 равносильно минус 1 меньше или равно z меньше или равно 2.$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x \leqslant2 равносильно x меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 1,25 правая круглая скобка 2.$

Решение второго неравенства: $x меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 1,25 правая круглая скобка 2.$

Пересечём полученные решения. Учитывая, что $3 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка 2 меньше 6,$ находим множество решений системы: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств	1
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка .$

507828

$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 Показательные неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507828	$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка .$