PDF-версии: 
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра которой равны 1.
а) Докажите, что 
б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BD1.
Решение. а) Проекция прямой
на плоскость основания ABC — это прямая AC. В правильном шестиугольнике диагонали AC и BE перпендикулярны. Значит, по теореме о трех перпендикулярах,
б) Угол между прямыми AB1 и BD1 равен углу между прямыми ED1 и BD1.
В треугольнике ED1B EB = BD1 = 2, ED1 = 
Из теоремы косинусов получаем
Косинус положителен, значит, 
— острый, значит, это искомый угол между прямыми AB1 и BD1.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |