РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 507793 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Уравнения, системы уравнений. Системы тригонометрических уравнений

Решите систему уравнений: $система выражений новая строка косинус левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x плюс синус y= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец системы .$

Решение. По формуле косинуса двойного угла:

$косинус левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 1 минус 2 синус в квадрате дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно синус в квадрате дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка синус дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $косинус левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 1 минус 2 синус в квадрате дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно синус в квадрате дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка синус дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Таким образом, система уравнений разбивается на совокупность двух систем:

$совокупность выражений новая строка левая фигурная скобка \beginarrayl синус \dfracx плюс y2=\dfrac корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента 2, левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка \dfrac корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента 2 косинус \dfracx минус y2=\dfrac корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента 2,\endarray. новая строка левая фигурная скобка \beginarrayl синус \dfracx плюс y2= минус \dfrac корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента 2, левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка минус \dfrac корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента 2 косинус \dfracx минус y2=\dfrac корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента 2 \endarray. конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка левая фигурная скобка \beginarrayl синус \dfracx плюс y2=\dfrac корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента 2, левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка косинус \dfracx минус y2=1, \endarray. новая строка левая фигурная скобка \beginarrayl синус \dfracx плюс y2= минус \dfrac корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента 2, левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка косинус \dfracx минус y2= минус 1. \endarray . конец совокупности .$

Решим первую систему совокупности:

$система выражений новая строка синус дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка косинус дробь: числитель: x минус y, знаменатель: 2 конец дроби =1 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl \dfracx плюс y2=\dfrac Пи 3 плюс 2 Пи k, левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка \dfracx плюс y2=\dfrac2 Пи 3 плюс 2 Пи k, \endarray . новая строка дробь: числитель: x минус y, знаменатель: 2 конец дроби =2 Пи m, конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x плюс y= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, x плюс y= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, конец системы . новая строка x минус y=4 Пи m конец совокупности .$ $система выражений новая строка синус дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка косинус дробь: числитель: x минус y, знаменатель: 2 конец дроби =1 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl \dfracx плюс y2=\dfrac Пи 3 плюс 2 Пи k, левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка \dfracx плюс y2=\dfrac2 Пи 3 плюс 2 Пи k, \endarray . новая строка дробь: числитель: x минус y, знаменатель: 2 конец дроби =2 Пи m, конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x плюс y= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, x плюс y= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, конец системы . новая строка x минус y=4 Пи m конец совокупности .$

$равносильно совокупность выражений новая строка левая фигурная скобка \beginarrayl x=\dfrac Пи 3 плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка y=\dfrac Пи 3 плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка , \endarray . новая строка левая фигурная скобка \beginarrayl x=\dfrac2 Пи 3 плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка y=\dfrac2 Пи 3 плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка , \endarray . конец совокупности . k,m принадлежит Z .$

Решим вторую систему совокупности:

$система выражений новая строка синус дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка косинус дробь: числитель: x минус y, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl \dfracx плюс y2= минус \dfrac Пи 3 плюс 2 Пи k, левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка \dfracx плюс y2= минус \dfrac2 Пи 3 плюс 2 Пи k, \endarray . новая строка дробь: числитель: x минус y, знаменатель: 2 конец дроби = минус Пи плюс 2 Пи m конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x плюс y= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, x плюс y= минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, конец системы . новая строка x минус y= минус 2 Пи плюс 4 Пи m конец совокупности .$ $система выражений новая строка синус дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка косинус дробь: числитель: x минус y, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl \dfracx плюс y2= минус \dfrac Пи 3 плюс 2 Пи k, левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка \dfracx плюс y2= минус \dfrac2 Пи 3 плюс 2 Пи k, \endarray . новая строка дробь: числитель: x минус y, знаменатель: 2 конец дроби = минус Пи плюс 2 Пи m конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x плюс y= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, x плюс y= минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, конец системы . новая строка x минус y= минус 2 Пи плюс 4 Пи m конец совокупности .$ $система выражений новая строка синус дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка косинус дробь: числитель: x минус y, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl \dfracx плюс y2= минус \dfrac Пи 3 плюс 2 Пи k, левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка \dfracx плюс y2= минус \dfrac2 Пи 3 плюс 2 Пи k, \endarray . новая строка дробь: числитель: x минус y, знаменатель: 2 конец дроби = минус Пи плюс 2 Пи m конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x плюс y= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, x плюс y= минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, конец системы . новая строка x минус y= минус 2 Пи плюс 4 Пи m конец совокупности .$

$равносильно совокупность выражений новая строка левая фигурная скобка \beginarrayl x= минус \dfrac4 Пи 3 плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка y=\dfrac2 Пи 3 плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка , \endarray . новая строка левая фигурная скобка \beginarray l x= минус \dfrac5 Пи 3 плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка y=\dfrac Пи 3 плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка , \endarray . конец совокупности . k,m принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ;.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.

Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ,k,m принадлежит Z правая фигурная скобка .$ $левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ;$

-->

507793

$левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ;.$

-->

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

507793

-->