PDF-версии: 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
а) Докажите, что прямые SE и AC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой SA.
Решение. а) Заметим, что в правильном шестиугольнике диагонали AC и
перпендикулярны. Вершина S проектируется в центр шестиугольника, который лежит на BE, поэтому проекция SE на плоскость основания — прямая 
Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, 
б) В треугольнике ASC проведём высоты CM и 
Искомое расстояние — длина отрезка 
Ясно, что 
откуда 
Треугольник ASC равнобедренный, 
Тогда
Следовательно, 
Ответ: 
Примечание.
Длину отрезка AC можно найти как длину основания равнобедренного треугольника с боковыми сторонами AB = BC = 1 и углом при вершине, равным 120° (угол правильного шестиугольника).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |