РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 507706 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Системы неравенств, Логарифмические неравенства, Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Простые системы неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений новая строка x в квадрате \log _25x больше или равно \log _25x в кубе плюс x\log _5x, новая строка 5 в степени x плюс 5 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 4 конец дроби . конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство:

$x в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 5 x больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 5 x плюс x логарифм по основанию 5 x$

Перенесём все члены в правую часть и умножим на 2:

$x в квадрате логарифм по основанию 5 x минус 3 логарифм по основанию 5 x минус 2x логарифм по основанию 5 x больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x\geqslant0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x\geqslant0.$ $x в квадрате логарифм по основанию 5 x минус 3 логарифм по основанию 5 x минус 2x логарифм по основанию 5 x больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x\geqslant0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x\geqslant0.$ $x в квадрате логарифм по основанию 5 x минус 3 логарифм по основанию 5 x минус 2x логарифм по основанию 5 x больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x\geqslant0.$

Заметим, что $x больше 0,$ поэтому $x плюс 1 больше 0.$ Получаем $левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x\geqslant0.$

Решение первого неравенства: $0 меньше x меньше или равно 1$ или $x больше или равно 3.$ Решим второе неравенство. Пусть $y = 5 в степени x$ тогда:

$y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби больше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 4 конец дроби равносильно 4y в квадрате минус 17y плюс 4\geqslant0 равносильно совокупность выражений новая строка y меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , новая строка y больше или равно 4. конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной переменной получаем: $x\leqslant минус логарифм по основанию 5 4$ или $x больше или равно логарифм по основанию 5 4.$

Заметим, что $0 меньше логарифм по основанию 5 4 меньше 1.$ Пересекая полученные решения, получим множество решений исходного неравенства: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 4;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 4;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

507706

$левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 4;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507706	$левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 4;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$