PDF-версии: 
Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 31 и 17, а расстояние между центрами окружностей равно 50.
Решение. Пусть центры окружностей — точки O1 и O2, а A и B — точки касания. Проведем через точку B прямую, параллельную O1O2. Точку пересечения этой прямой с O1A обозначим K. Треугольник KAB — прямоугольный.
Возможны два случая расположения окружностей и общей касательной.
Случай 1. Окружности лежат по одну сторону от касательной.
Случай 2. Окружности лежат по разные стороны от касательной.
Обозначим радиусы окружностей R и r, расстояние между центрами окружностей l. В первом случае AK = R − r, во втором случае AK = R + r. Из прямоугольного треугольника KAB находим:
в первом случае
во втором случае
Ответ: 48 или 14.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |