РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 507638 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка, Разложение на множители, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $косинус в квадрате x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x плюс косинус x= синус x.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Перенесём все члены в левую часть, преобразуем и разложим левую часть на множители:

$косинус в квадрате x минус синус x косинус x плюс косинус x минус синус x=0 равносильно косинус x левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка минус синус x левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$ $косинус в квадрате x минус синус x косинус x плюс косинус x минус синус x=0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка минус синус x левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка =0.$

1 случай. Если $косинус x= минус 1,$ то $x= Пи плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

2 случай. Если $косинус x не равно минус 1,$ то $косинус x минус синус x =0.$ При $косинус x = 0$ решений нет. Разделим обе части уравнения на $косинус x.$ Получаем $1 минус тангенс x =0 равносильно тангенс x=1.$

Тогда $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка$ принадлежат корни $Пи$ и $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $Пи$ и $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507638

а) $левая фигурная скобка Пи плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $Пи$ и $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Методы алгебры: Группировка, Разложение на множители, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507638	а) $левая фигурная скобка Пи плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $Пи$ и $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$