PDF-версии: 
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что плоскости 
и
параллельны.
б) Пусть известно еще, что параллелепипед прямоугольный, а кроме того AB = 6, BC = 6, CC1 = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями ACD1 и A1B1C1.
Решение. а) Заметим, что прямые
и 
лежат в одной плоскости и не пересекаются, так как лежат еще и в параллельных плоскостях содержащих противоположные грани параллелепипеда. Следовательно, они параллельны. Из аналогичных соображений параллельны прямые BD и 
Но тогда, по признаку параллельности плоскостей, получаем параллельность и 
что и требовалось.
б) Вместо плоскости 
возьмем параллельную ей плоскость 
Пусть E — середина 
Значит, угол 
— линейный угол искомого угла. Из прямоугольного треугольника 
находим
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |